当前位置: 首页 > 戴海林 > 课题论文 > 让点的轨迹“圆”形毕露

让点的轨迹“圆”形毕露

浏览量:3013|发表日期:2011-11-11|来自:黄权清

让点的轨迹“圆”形毕露

——一道课后习题课的变式教学

一、教材版本:人教版高中数学选修2-1

二、教学内容:第二章《圆锥曲线与方程》课后习题2.1A组第3

三、教学设计

1)教材处理

教材中许多重要的例题和习题反映相关数学理论的本质属性,蕴含着数学的重要思想方法。本课例以一课后习题为切入点,对习题进行变式和引申,从数与形的角度揭示点的轨迹是圆,使点的解释更加明朗,内涵更加丰富,让学生充分体会到数与形的完美统一。

2教学目标

知识目标:掌握到两定点的距离的平方和为定值的点轨迹是圆。

 能力目标:培养学生对特殊的问题进行联想、类比形成一般性结论的能力,培养学生多角度思考问题的发散性思维。

情感目标:培养学生敢于提出问题并积极探索问题的探究精神,体会数形结合的重要数学思想,感受数学理性的美感。

3)教学重难点

 教学重点:提出问题,利用求轨迹方程的方法来求出方程。

教学难点:解决问题,从多角度探求点的轨迹的几何解释。

4)教学过程

以教学大纲和教材为依据,采用探究式教学。遵循因材施教、循序渐进的原则,坚持以学生为主体,充分发挥学生的主观能动性。教学过程中,注重学生探究能力的培养。我采取了动态教学的方式,将课堂还给学生,让学生去亲身体验知识的产生过程,拓展学生的创造性思维。同时,注意加强对学生的启发和引导,鼓励学生们的自学讨论,充分发挥小组合作的学习优势。

(一)引申习题、提出问题

问题1两定点的距离为6, 到两个定点的距离的平方和为26,求点 的轨迹方程。

设计意图:利用学生作业反馈的信息对这个问题在课堂上进行一番探究。因为学生对问题有一种亲切感,拉近了问题与学生之间的距离,从而更愿意深入研究。既能复习求轨迹方程的基本知识,又能激发了学生的学习兴趣,同时也为接下来的设问埋下伏笔。

(二)迁移知识、构建方程

问题2到两个定点的距离的平方的和为定值,求动点的轨迹方程。

设计意图:希望由学生分小组进行自主讨论并提出问题,学会从特殊到一般的推理与猜想,所以对学生抽象概括能力要求比较高;但这也极大的激起了学生的求知欲望。

(三)几何解释、拔云见日

   问题3:为什么轨迹会是一个圆,能否找到它的几何解释?

   

设计意图:让学生小组讨论,把思考的主体让给学生自己,通过学生的对圆是到一点的距离为定值的点的轨迹的理解,使学生在积极向圆的定义靠拢,从而找到它的几何解释。

(四)动态演示、牛刀小试

问题4:已知圆 上一定点 为圆内一点,

为圆上的动点,若 ,求线段 中点的轨迹方程。

设计意图:利用几何画板这一有利工具,进行动态演示。更加直观形象地看到动点的轨迹,从而加深学生对该结论的记忆。学习的目的在掌握知识,掌握知识的目的在于应用,提出问题加以应用。

(五)类比迁移,课外延伸

思考题:到两定点的距离的平方的比为定值,求动点的轨迹,并尝试寻求它的几何解释?

设计意图:通过类比、引伸,提出新的问题,留给学生思考的空间,让学有余力的同学积极探求它的几何解释,充分感受数与形的和谐。

四、教学实录

一、作业讲解

问题1两定点的距离为6, 到两个定点的距离的平方和为26,求点 的轨迹方程。

   师:对于这个问题同学们做得都不错,但也存在诸多问题。然后用实物投影仪展示学生的作业情况。

   生:设两定点为 ,以 所在的直线为 轴,以线段 的中垂线为 轴建立直角坐标系。设动点 ,由 可得动点 的轨迹方程为 ,所以轨迹是以原点为圆心,以 为半径的圆。(形成共识,这种做法比较好)

二、新课讲授

问题2到两个定点的距离的平方的和为定值,求动点的轨迹方程。

师:大家分小组讨论(生动师不动,让学生先读题,静观其变,后提问)

生: ,定值为 ,以 所在的直线为 轴,以线段 的中垂线为 轴建立直角坐标系。设动点 ,由 可得动点 的轨迹方程为 ,化简得:

1)当 时,  表示原点。

2)当 时,  表示以原点为圆心,以 为半径为圆。

特别地,当 时,表示以原点为圆心,以 为半径的圆。

 

问题3:为什么轨迹会是一个圆,能否找到它的几何解释?

为边构造平行四边形 ,利用平面向量工具可以证明:

从而得到:

平行四边形的两对角线的平方和

等于四条边的平方和这一平行四边的性质。

师:有没有其它的方法来证明

生:可以有解三角形的余弦定的知识加以解决。

师:于是有

 

也就是说动点 到定点 的距离等于定值

于是直观形象地看到点 的轨迹就是以 为原点以

为半径的圆,并得到 这三者之间的几何关系。

师:用几何画板这一有利工具,动态演示到 再到 的轨迹,更加直观形象地看到动点的轨迹,从而加深学生对该结论的记忆。

 

问题4:已知圆 上一定点 为圆内一点,

为圆上的动点,若 ,求线段 中点的轨迹方程。

师:根据题目的已知,寻找出线段之间的几何关系

生:学生很快就找到了问题的解决方法(具体过程略)

 

三、课堂小结,课外思考

思考题:到两定点的距离的平方的比为定值,求动点的轨迹,并尝试寻求它的几何解释?

五、课后反思、课例点评

   教材中许多重要的例题和习题反映相关数学理论的本质属性,蕴含着数学的重要思想方法,对于这类问题,通过类比、引伸、推广、提出新的问题并加以解决。既能有效巩固基础知识,又能培养学生的探索精神和创新能力,是学生创新思维的生长点,是课堂教学开展探究性学习的重要手段。

本节课的教学首先通过提出问题,让位给学生思考,积极参与;然后通过变式,深化问题,为了突破难点,进行架设阶梯、分层设计,主要是以下几个步骤:第一、让学生定性猜想,化未知为已知。第二、定量刻画,引导学生向纵深发展,激发学生学习、探究的内驱力。第三、类比启发,“撕破庐山真面目”,把学生的思维过程在教师的启发引导下,通过独立思考,合作学习等形式获得属于自己的结论,而不是被动接受。

解数学题的本质是找到并且规范而简明地表述出从题目的已知条件到题目的目求的一系列命题转化的一条通路。课本中习题不仅仅是传授知识、巩固方培养能力、积淀素养的载体,如果我们能对它们进行特殊的联想、类比联想、对其作推广或拓广的引申,这些题目都可以作为我们探究性学习的重要材料。对于课本习题的探究性学习要注意几个过程:

(1) 审题。弄清楚两个部分:条件与结论。对已知的条件既不能遗漏,也不能随意添加,注意条件的多元化、复杂化、联系性,并注意隐含条件。对结论,要经过审题转化为各种等价形式。

(2) 解题方法的探索过程。是否见过相同的问题?只是形式有变化?与哪些定理、公式、法则有关,可否直接应用?解决这一问题用到哪些策略?

高中生的迁移能力较强,笔者认为,在高中数学教学过程中,充分利用课本中的习题,通过变式引导学生把问题由特殊化向一般化转化或一般向特殊化转化,启发学生探索、猜想、尝试与创设新的解决问题的思路与方法。引导学生多方面积极探索,使学生对问题有一个全面而清晰的了解。促使学生的知识多向迁移,使学生对知识的掌握更全面、更系统,从而使教学更具有效性。