数学信息型问题的探索与研究

【内容提要】通过对信息题的阅读与理解，然后根据信息题中的新知识作进一步联想、演算或推理，从而提高学生的探究能力和创新能力

【关 键 字】信息问题、数学能力、最近发展区、概念、符号、法则、思想类比

【问题提出】

    我国历次颁布的数学教学大纲中，关于数学能力一直以三大基本能力(数学运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力)作为数学能力的具体构成内容，随着信息化、数字化、学习化社会的到来，对学生数学素养提出了新的要求，必须要具有一定的实验观察、信息获取、数据处理、探究创新等能力，并且能够有效地联系建立、表达与交流，但传统的学习方式过分强调接受和掌握，忽视了现与探索。在数学教学中的主要表现是：强调学习现成的答案，把主要精力花在记忆零碎的信息而不是理解数学内容；重模仿轻论证，对一些“经典”问题津津乐道，天花乱坠，而学生在台下昏昏欲睡，严重打击了学生学习兴趣和热情，抑制了学生的创造性。

【理论指导】

    (1)“主动学习”原则：美国著名数学教育家G.波利亚明确指出：“学习任何东西，最好的途径是自己去发现”。

    (2) “再创造学习”理论：荷兰数学家弗莱登塔尔的研究表明：数学教育应是一个活动过程，在整个活动中，学生应处于一种积极创造状态。教师的任务就是为学生的发展、创造提供自由广阔的天地，在于引导学生探索获得知识、技能的途径和方法，培养学生的创造力。

    (3) “最近发展区”理论：前苏联教育专家赞科夫提出，教学要利用学生已有发展水平与教学要求之间的矛盾来促进学生的发展。为数学教学提供了通过教学使学生在数学思维能力方面得以培养和发展空间，而这个空间的开发要靠教师对信息问题的创新设计。

【问题探索】

    为有效地培养学生的数学素质，符合时代发展的需要，应编拟一些不脱离中学实际且富有新意的问题(即信息题)，给出在中学数学教学内容中没有遇到过新知识，如新的概念、新的符号、新的规则等等，要求学生读懂并理解，然后根据这个新的知识进一步联想、演算或推理。这类问题往往集探索性、开放性和创造性于一体，迁移旧知识、旧内容到新的情景中，为培养学生的探索能力和创新能力，提供了广阔的空间。

【举例说明】

一、概念型问题

    例1、斐波那契是意大利的一位著名数学家，1202年提出一个著名的“斐波那契”数列:

       请观察这个数列，说出它的规律，并用递推公式表示出来。

       分析：结合数学家给出，有利于激发学生学习兴趣，对学生用符号表示也提出一定的要求，从而进一步理解递推公式的含义。从第3项起每一项都是它前相邻两项之和，可用递推公式

例2、我们把离心率 的椭圆叫做“完美椭圆”，如图所示为一“完美椭圆”，求 的大小。

　　　　　　　　有利于提高学生做题兴趣，于是利用余弦定

　　　　　　　　理可得 ，给学生不一般的体验

和成就感。

二、符号型问题

例3、已知数列 ，定义 则

　　　（1）

　　　（2）

分析：这个问题实质上就是求数列前 项和的问题，只是形式上的改变，主要是培养学生接受新符号、学习新知识的能力。

三、法则型问题

例4、记号“＊”表示两个数 和 的算术平均数的运算，即

则以下式子：

　　①　 　　　　　　　　　　②　 　

③　 　　　④　

正确的有＿＿＿＿＿

分析：学生通过阅读并理解新的法则，并运用新法则来判断对错，要求不是很高。如果要求学生自己写出两边都有＊与＋符号的并且是能成立的式子，那难度就更高了。

例5、不包括 的实数 满足条件：若 ，则

（1）    已知 ，求出 中其它所有元素

（2）    自己设计一个实数属于 ，再求出 中其它所有元素

（3）    观察集合 ，有什么特点

　　　　分析：此题考查学生理解新规则，并能归纳总结出一般规律的数学能力，要求学生有一定的探究问题的能力。